Hookův zákon a modul pružnosti betonu

Hookův zákon elasticity, pojmenovaný po svém objeviteli, anglickém fyzikovi Robertu Hookovi, který ho formuloval v roce 1676, se týká sil působících na těleso v tahu a tlaku. Tento poznatek objevil již v roce 1676 anglický fyzik Robert Hooke, a proto se nazývá Hookův zákon. Matematicky ho lze formulovat takto: \(\sigma_\mathrm{n}=E\varepsilon\), kde konstanta E je modul pružnosti v tahu (\(E = \frac{\sigma}{\varepsilon}\)). Tato materiálová konstanta je značně velká (řádově MPa až GPa).

Pro jednotlivé materiály se (zpravidla na tzv. trhacím stroji) zjišťuje graf závislosti velikosti zatěžující síly na prodloužení, resp. Můžeme zde vidět již popisovaný lineární vztah, který platí až do dosažení meze úměrnosti U. Velikost směrnice naznačené přímky, procházející počátkem O, odpovídá právě velikosti Youngova modulu pružnosti. Youngův modul pružnosti (modul pružnosti v tahu) je materiálová konstanta (pro určitý způsob namáhání), kterou můžeme nalézt v matematicko-fyzikálních tabulkách. Je specifická pro jednotlivé materiály. Vyjadřuje poměr mezi napětím a jím vyvolanou deformací. Poslední formu získáme po dosazení podílu F / S za normálové napětí σ. F znamená působící sílu a S je průřez zkoumaného materiálu. Co bylo výše řečeno o namáhání na tah, platí obdobně při namáhání na tlak i pro jiné druhy namáhání (např. na krut - vinuté pružiny). Průběh pracovního diagramu se však i u téhož materiálu pro různé jiné druhy namáhání může lišit, a to někdy i dost výrazně, a tím pádem se může lišit i velikost modulu pružnosti a dalších materiálových charakteristik.

Z praxe víme, že působením deformujících sil se uvažované těleso (drát, guma, …) prodlouží z původní délky l1 na délku l. Veličinu \(\Delta l = l - l_1\) nazýváme (absolutní) prodloužení. Toto prodloužení je závislé na počáteční délce tělesa. Zvětšujeme-li postupně velikost deformačních sil při deformaci tahem, lze sledovat závislost normálového napětí na relativním prodloužení \(\varepsilon\).

Youngův modul pružnosti a elastické deformace

Vzorec Hookova zákona není jen pro tlačné pružiny, tažné pružiny a zkrutné pružiny, ale také pro další elastická tělesa. Veličina \(\sigma_\mathrm{n}=F/S\) je normálové napětí, což je podíl deformační síly \(F\) a plochy \(S\), na kterou síla kolmo (normálově) působí. Relativní prodloužení \(\varepsilon=\Delta l/l_0\) zase ukazuje, o kolik se materiál prodlouží vzhledem ke své původní délce \(l_0\).

Nejprve se vzorek chová pružně. To znamená, že když vzorek materiálu namáháme silou nebo napětím a následně zatěžující sílu odstraníme (materiál odlehčíme), vrátí se vzorek do původní délky \(l_0\). Deformace je elastická. Kdybyste ale natáhli pružinku více, už by se po odlehčení do původní délky nevrátila, ale zůstala by zčásti trvale deformovaná. V grafu vidíme přímku procházející počátkem. Tato závislost je matematicky popsána Hookovým zákonem \(\sigma_\mathrm{n}=E\varepsilon\). Konstanta úměrnosti \(E\) je Youngův modul pružnosti, který vyjadřuje strmost křivky, a tedy tuhost materiálu. Jeho hodnota je velká pro materiály s vysokou tuhostí, které se málo deformují i při vysokých zátěžných silách. Youngův modul vyjadřujeme v Pa, ale v praxi se setkáme spíše s jeho násobky: MPa, GPa (např. pro ocel platí \(E=200\ \mathrm{GPa}\)).

Čtěte také: Příprava a provádění staveb

Pokud výpočtem zjistíme, že i při dosti velkém relativním prodloužení je vyvolané normálové napětí menší než mez pružnosti \(\sigma_E\), jedná se o pružný materiál. Má-li materiál mez pružnosti blízko meze pevnosti, jedná se o křehký materiál. Křehkost často souvisí s velmi dobrou pružností (žiletky) nebo s velkou tvrdostí (nože, pilníky). Tyto charakteristiky lze dobře vyčíst z tzv. pracovního diagramu.

Mechanické vlastnosti betonu a Hookův zákon

Modul pružnosti je jednou ze základních charakteristik betonu definujících jeho pružné deformace a hraje významnou roli při statickém návrhu konstrukcí. Modul pružnosti je základní charakteristikou betonu vypovídající o jeho přetvárných vlastnostech a ovlivňující deformační chování betonových konstrukcí. Mechanické vlastnosti betonu udávají vztah mezi mechanickým namáháním a odporem, kterým materiál účinkům tohoto namáhání vzdoruje. Nejvýznamnějšími mechanickými vlastnostmi betonu je pevnost a odolnost proti přetvoření. V případě namáhání pouze mechanickým namáháním se mechanické vlastnosti materiálu označují jako vlastnosti přetvárné (deformační) nebo jako vlastnosti pevnostní, závislé na charakteru chování materiálu, který si buď zachovává svoji celistvost, nebo se nachází ve fázi porušování.

Deformační vlastnosti betonu - působením mechanického napětí dochází ve struktuře pevných látek ke změnám vzdálenosti mezi jednotlivými částicemi, k jejich vzájemným posunům i k složitým strukturálním změnám, v důsledku čehož mění tuhá tělesa do určité míry tvar i objem. Tyto změny jsou označovány jako přetvoření nebo také deformace. Pro statický výpočet konstrukcí jsou ukazateli přetvárnosti modul pružnosti a modul přetvárnosti. Velikost deformace materiálu se vyjadřuje formou poměrného přetvoření, které představuje poměr změny rozměru k původnímu rozměru. Beton je materiál přenášející v konstrukci především tlaková napětí, proto je pružné chování nejdůležitější při jeho tlakovém namáhání, kdy dochází ke zmenšení rozměru ve směru působící síly.

Tuhost betonu je nejlépe charakterizovaná pracovním diagramem při osovém namáhání (tlak-tah). Diagramy mohou být zhotovené bez odlehčování nebo s odlehčováním. Podle typu diagramu jsou definované i deformační vlastnosti. Průběh přetvárnosti betonu při působení statického zatížení se liší v závislosti na jakosti betonu, tj. deformačních vlastnostech kameniva, množství, hutnosti, jakosti a stáří cementového kamene a rychlosti zatěžování, popř. deformační chování, mez kluzu - tzv.

Typy modulů pružnosti betonu:

  • Statický modul pružnosti stanovený ze závislosti mezi napětím a poměrným přetvořením.
  • Sečnový modul pružnosti, který je daný poměrem \(\sigma_x/\varepsilon_x\).
  • Tečnový modul pružnosti daný směrnicí ke křivce mezi napětím a deformací při daném napětí.
  • Začáteční tečnový modul pružnosti, který je směrnicí ke křivce v začátku závislosti a dosahuje nejvyšší hodnoty.

Jelikož je beton nelineárně pružný materiál, s narůstajícím napětím se výrazně zvyšuje jeho deformace. V oblasti pružných deformací platí Hookův zákon. V oblasti deformací nepružných se stanovuje modul přetvárnosti vyjádřený poměrem napětí k celkovému poměrnému přetvoření.

Čtěte také: Pohledový beton a bednění

Faktory ovlivňující modul pružnosti betonu

Na výslednou hodnotu modulu pružnosti betonu má vliv celá škála různých faktorů, které jsou popisovány v odborné literatuře. V případě vlivu kameniva a cementové pasty je možné sledovat prakticky lineární závislost mezi napětím a poměrným přetvořením, ovšem v případě betonu jako kompozitního materiálu je tato závislost nelineární. Modul pružnosti betonu je podstatně odlišný od modulu pružnosti ztvrdlé cementové pasty, což ukazuje na rozdílnost modulů pružnosti složek betonu, přičemž kamenivo má jednoznačně vyšší modul pružnosti než zhydratovaná cementová pasta a vyšší obsah kvalitního hrubého kameniva tak přináší vyšší modul pružnosti betonu. Mechanické vlastnosti cementového kamene závisí, při stejných podmínkách zatížení a vnějšího prostředí, na množství, druhu, rozměru a orientaci pórů a trhlinek. Ztvrdlý cement a kamenivo ovlivňují velkým podílem přetvárné vlastnosti (deformace). Je-li podíl cementu v betonu okolo 15 %, existuje vysoký potenciál na výrazné ovlivnění deformačních vlastností betonu. Čím vyšší bude obsah kameniva, tím blíže bude křivka betonu ke křivce kameniva.

Výrazný vliv na modul pružnosti cementového kamene má jeho pórovitost, kdy se zvyšující se pórovitostí betonu dochází ke snížení výsledné hodnoty modulu pružnosti betonu. Pórovitost cementové pasty při zvyšujícím se vodním součiniteli w/c navyšuje obsah volné vody v čerstvém betonu. Kapilární pórovitost podstatně ovlivňuje pevnost betonu v tlaku a ve své podstatě shodně i modul pružnosti. Modul pružnosti je přibližně úměrný třetí mocnině poměru gel/prostor. Modul pružnosti kameniva má vzhledem k jeho objemu v betonu výrazný vliv na modul pružnosti samotného betonu. Vlastnosti a objem zejména hrubého kameniva ovlivňují jak pevnost betonu v tlaku, tak modul pružnosti betonu, přičemž jejich vliv na modul pružnosti je vyšší než na pevnost v tlaku. Z tohoto důvodu bude mít beton vyrobený z méně pevného kameniva nižší modul pružnosti než beton se stejnou pevností vyrobený z pevnějšího kameniva. Nejen rozdílný druh kameniva, ale také stejný druh, ale z rozdílných lokalit může značně ovlivnit modul pružnosti betonu.

Doporučení pro dosažení požadovaných hodnot modulu pružnosti betonu:

  • Používat pouze portlandské cementy CEM I, v případě použití směsných cementů stejné pevnostní třídy lze očekávat snížení hodnot modulů pružnosti o cca 10 až 15 %. Totéž platí v případě použití kombinace cementů CEM I s aktivními příměsmi, např. elektrárenskými popílky či jemně mletou vysokopecní struskou.
  • Aplikovat zažité zkušenosti s odhadem k-hodnoty a dopady na pevnosti v tlaku pro odhady statických modulů pružnosti je nebezpečné. Výsledné hodnoty modulů pružnosti budou nižší než pro stejnou pevnostní třídu vyrobenou pouze z cementu CEM I.
  • Omezit množství frakce 0 - 4 mm a jemných podílů pod 0,125 mm.
  • Pokud to umožní reologické vlastnosti čerstvých betonů (čerpatelnost, zhutnitelnost), je lepší používat pro výpočet poměrů mísení směsi kameniva z více frakcí rovnice EMPA I, II než Fullerovu rovnici.
  • Využívat kameniva do maximální frakce 22 mm, přičemž lepší jsou drcená než těžená.
  • Využívat hrubá kameniva, která mají vysoký modul pružnosti, např. žula, čedič, diabas, amfibolit. Naopak usazeniny a některé přeměněné horniny mají modul pružnosti podstatně nižší.
  • Ověřit dopad typu a dávky superplastifikační přísady. Praxe ukazuje, že některé typy moduly pružnosti snižují. Ovšem je třeba mít na paměti, že čím je vodní součinitel nižší, tím je cementový kámen hutnější a tranzitní zóna (ITZ) kvalitnější, což moduly pružnosti ovlivňuje pozitivně.
  • Nečekat vysoké moduly u provzdušněných betonů.
  • Využívat možností dosažení požadovaných hodnot ve stáří 60 či 90 dnů. Dají se očekávat cca 6 - 10% nárůsty hodnot oproti hodnotám dosaženým ve stáří 28 dnů.
  • V případě požadavku projektanta na konkrétní hodnoty statických modulů je třeba si ujasnit, zda se jedná o hodnotu minimální, průměrnou či maximální.
  • Při požadavku na konkrétní hodnoty statických modulů pružnosti nad hodnoty 28 GPa provést průkazní zkoušky.
  • Nevycházet ze vztahů pro převod EC2 pouze z pevnostní třídy betonu.

V minulosti byly vytvořeny teoretické modely pro predikci vztahů mezi modulem pružnosti betonu a pevnostními charakteristikami betonů, které umožnily určit modul pružnosti výpočtem bez nutnosti jeho reálného měření. Dnes je možné bez značných potíží vyrobit betony s pevnostmi kolem 120 N/mm2 s použitím tradičních materiálů a současných metod návrhu složení betonu. Oproti pevnostem se modul pružnosti však zvyšuje v mnohem menší míře. Empirický vztah mezi modulem pružnosti a pevností v tlaku může platit pouze pro betony s podobným složením, zejména pak u tradičních vibrovaných betonů. V případě větších rozdílů ve složení, v použitém kamenivu, druhu a dávce cementu, přísadách či příměsích může být tato závislost podstatně odlišná.

Oproti technologickým faktorům, které jsou v podstatě ovlivněny samotným složením a výrobou betonu, jsou ty zkušební více či méně ovlivněny zkušebním zařízením, obsluhou strojů, zkušebním postupem a volbou úpravy zkušebních těles, jež jsou závislé především na možnostech laboratoře a místních zvyklostech. S rychlým vývojem technologie betonu a s použitím nynějších dostupných materiálů a výrobních procesů dochází k nástupu betonů lišících se od základního konceptu cement → kamenivo → voda na cement → kamenivo → voda → přísady (plastifikační/superplastifikační), resp. Kvůli intenzitě používání těchto složek pro výrobu betonu dochází ke značným změnám v poměrech mezi přetvárnými vlastnostmi a pevností betonu v tlaku, a proto je nutné zásadně přehodnotit některé závislosti, ze kterých se následně vychází při statickém navrhování betonových konstrukcí.

Zkoušky mechanických vlastností

Jedním z testů mechanických vlastností materiálu je deformační zkouška, při které materiál natahujeme nebo stlačujeme, popřípadě jinak deformujeme. Tahová deformační zkouška je důležitou zkouškou pevnosti nejen bavlněných nití, ale především konstrukčních a stavebních materiálů. Vezmeme vzorek zkoumaného materiálu, upneme ho do trhacího stroje a postupně zvyšujeme sílu, kterou ho napínáme. Jestliže přitom měříme navíc prodloužení daného vzorku materiálu, můžeme vykreslit graf ukazující, jak deformace závisí na zatížení. Abychom mohli porovnat dva materiály, musíme mít k dispozici buďto stejně dlouhé a stejně silné vzorky, nebo zavést veličiny, které budou charakterizovat daný materiál, a ne použitý zkoumaný vzorek.

Čtěte také: Jídelní stůl MDF beton: Co zvážit?

Fakt, zda je materiál pevný či křehký, jak moc je elastický nebo zda je houževnatý, tedy určuje, v jaké oblasti jej použijeme. Tyto vlastnosti musíme změřit a pak je také nutno přesně znát napětí, která v mostech, tričkách nebo převodovkách vznikají. Vybraný materiál pak musí zároveň zatížení vydržet, ale celá konstrukce nesmít být příliš masivní. Vidíme, že výběr materiálu není tak jednoduchý!

Tři deformační křivky pro různé materiály:

Tři různé deformační tahové křivky na obrázku ukazují tři velmi odlišné materiály - keramiku, kovy a nevyztužené polymery (plasty nebo gumy). Všechny křivky ukazují, že v oblasti elastické deformace napětí roste při prodlužování vzorku. Toto napětí ale roste různě strmě, dosáhne různé nejvyšší hodnoty napětí a různého největšího relativního prodloužení.

  • Keramika (modrá křivka): Má z těchto tří materiálů nejvyšší tuhost (velká síla způsobí pouze malou deformaci, to odpovídá velkému modulu pružnosti). Současně má nejvyšší pevnost (při přetržení vzorku bylo dosaženo největšího napětí) a nakonec vykazuje nejmenší tažnost (nejmenší relativní prodloužení při přetržení).
  • Polymery (zelená křivka): Pevnost (největší dosažená síla) i tuhost (strmost nárůstu síly vzhledem k prodloužení) jsou ve srovnání s keramikou a kovy velmi nízké. Naopak polymery vykazují vysokou tažnost. Je vidět, že relativní prodloužení dokonce roste bez výrazného nárůstu zatěžovacího napětí.
  • Kovové materiály (červená křivka): Tahová křivka kovových materiálů leží mezi těmito dvěma extrémy.

Při pohledu na deformační křivku můžeme ještě mluvit o houževnatosti. Houževnatost v sobě zahrnuje jak pevnost, tak tažnost a je vyjádřena plochou pod tahovou křivkou. Nejjednodušeji bychom mohli říct, že houževnatost vyjadřuje odolnost materiálu proti vzniku porušení. Je vidět, že z hlediska houževnatosti jsou na tom nejlépe kovy. Keramiky mají sice největší pevnost, ale malou tažnost (jsou křehké), mají tedy malou houževnatost. Polymery sice vydrží velké deformace, ale nejsou schopny unést velkou sílu.

tags: #hookeuv #zakon #pro #beton #vysvětlení

Oblíbené příspěvky: